传染病SIRS模型

模型假设：

1、总人数N不变。人群分为健康者、病人和移出者三类。t时刻三类人数量分别记为s(t),i(t)和r(t)。

2、病人的日接触率为，日治愈率为。

3、移出者康复后只有暂时免疫力，单位时间内将有的移出者丧失免疫而可能再次被感染。

 模型构成

由假设1显然有

          （1-1）

建立关于s(t),i(t)和r(t)的三个方程

          （1-2）

记初始时刻的健康人、病人和移出者人的比例分别是，和，则SIRS模型的方程可以写作

           （1-3）

方程（1-3）中无法求出s(t),i(t)和r(t)的解析解，我们先作稳定性分析。

稳定性分析

由于s(t)+i(t)+r(t)=N是一个常数，所以令r=N-s-i,则式(1-3)可以降阶为

          （1-4）

引理1 令，则为方程（1-4）的正向不变集。

定义阈值,可以得到如下关于平衡点稳定性的结论：

定理1 如果，则方程（1-4）只有疾病消除平衡点，并且是全局渐进稳定的。

定理2 如果，则方程（1-4）存在唯一的，且全局渐进稳定的地方平衡点，其中  ，。                     

模型优化

       根据阈值的定义和以上2个定理，就某一地区而言，当所研究的传染病的传染力不是很强，即传染率满足时，由疾病消除平衡点的全局稳定性可知传染病最终会在该地区消除的；而当所研究的传染病的传染力较强，即传染率满足时，由正平衡点的全局稳定性可知传染病会在该地区蔓延下去，成为地方病。希望通过采取人为的措施，即对传染病的动力系统进行有效的控制，使 时系统的疾病消除平衡点 具有很好的全局性态，这样疾病将最终消除，为此考虑如下的方程：

          （1-5）

其中为控制项。

如果只考虑对染病者施加控制，在医学上一般采用的方法有2种：一种是用有效的药物对染病者进行治疗；另一种是将染病者隔离起来以避免染病者与易感者的接触。令和分别表示隔离率和治愈率，考虑如下形式的控制器：。

定理3对于方程（1-5），如果，施加控制，且，满足，，则全局渐近稳定。

数值计算

例 在方程（1-4）中，假设N=100, ，，则得到如下系统：

           （1-6）

现分别在=0.001，=0.01时讨论其平衡点的稳定性：

       当=0.001时，，方程（1-6）只有疾病消除平衡点 ，由定理1可知是全局渐近稳定的。

       当=0.01时，，由定理2可知方程（1-6）有唯一的、全局渐近稳定的地方病平衡点，其中

，

图1

 
当=0.01时，得到如图2的相空间曲线，由图可以看到，无论初值如何，最终都趋于。在这种情况下疾病不能最终被消除，成为该地区的地方病，为此考虑疾病的控制问题。

图2

 当λ=0.01时，为使疾病消除平衡点全局渐近稳定，需要对病人施加有效的控制，考虑如下的系统：

           （1-7）

由定理3，取，并令隔离率，治愈率，仿真得到如图3的相空间曲线。由图3可知，方程（1-7）的平衡点( 100，0) 全局渐近稳定，也就是说，当=0.01时，控制使方程（1-7）的疾病消除平衡点全局渐近稳定。

图3

   在国外，1760年Bemnoull 就曾用数学模型研究过天花的传播问题，1906年 Hamer为了搞清楚麻疹的反复流行原因，其构造并分析了一个离散时间模型,1911 年公共卫生医生 Ross 博士利用微分方程模型对蚊子与人群之间传播疟疾的动态行为进行了研究，其研究结果表明如果将蚊子的数量减少到一个临界值以下,那么疟疾的流行将会得以控制。
  1927年 Kermack 与 Mckendrick 为了研究 1665-1666 年黑死病在伦敦的流行规律以及 1906年癌疫在孟买的流行规律，构造了著名的SIR仓室模型，在1932年提出了SIS仓室模型。分析所建立的数学模型，提出了疾病是否流行的“阀值理论”，为传染病数学模型研究奠定了基础。近20年来，国际上传染病动力学的研究进展极为迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题，这些数学模型涉及接触传播、垂直传播、虫媒传播等不同的传播方式，也考虑疾病的潜伏期、接种防御、交叉感染、年龄结构、空间迁移和扩散等相关因素。

  在国内,传染病数学模型研究也开始发展起来,西安交通大学的传染病数学模型研究团队在2003年SARS流行期间,通过建立传染病数学模型数据分析、参数推断和计算机模拟等方法,对我国大陆地区SARS的流行趋势进行了准确的预测。通过数据分析与预测,得到的结果非常可观。2009年,利用数学模型对HN1流感流行期间预防控制措施,比如封校、隔离、卫生防御和治疗等对疫情的影响,并且给出了封校策略实施的最佳起始时间,实施时间的长度和强度以及隔离和卫生防疫等对疫情控制的有效分析。这些成果充分显示了我国数学模型研究在传染病防控中的重要作用。
  国外的传染病数学模型已经取得了很多新的成果,各种数学模型正在广泛地应用在传染病研究中;在我国已渐渐地形成了一些研究团队,这个研究方向正在逐渐壮大。通过数学模型来研究疾病传播也是研究疾病的一种有效方式。

 关于SIR传染病数学模型,主要研究其他因素下的SIR传染病数学模型。比如考虑出生和死亡的SIR传染病数学模型、离散SIR传染病数学模型、脉冲免疫SR传染病数学模型和随机SIR传染病数学模型。目前,关于传染病模型的研究已有相关的研究热点问题,例如脉冲接种免疫,利用脉冲刻画接种免疫,当疾病暴发,一种行之有效的方法是给易感人群接种疫苗,这样在很短的时间内,部分人群就由易感者(S)变为免疫者(R),由于时间很短,可以看做是瞬时完成,于是用脉冲去刻画是合理的。目前国内研究成果很多,这方面的专家有陈兰荪、宋新宇、高淑京等人,他们做了很多工作,提出了SEIR, SEIRS, SVEIRS等模型,深入而详尽地考虑了传染病流行过程中的免疫接种,潜伏期问题,免疫期问题等等。一个值得注意的问题是,时滞量的引人恰当地描述了疾病从感染到发病以及个体从接种到再次成为感染者的这些滞后现象,也客观地促进了时滞微分方程的发展。总之,传染病模型的研究方兴未艾,可以服务于人群的预防免疫,电脑病毒的感染机理分析,以及疾病传播趋势的预测,在实际应用中具有很大的潜力。传染病数学模型主要研究内容是通过微分方程(脉冲,时滞)研究疾病的发展趋势,制定相应的防控策略。。难点是如何构建较为合理的方程,时滞项所产生的分支如何控制,时滞微分方程如何确定平衡点的稳定和不稳定的判别条件,利用接种进行疾病防控时如何优化控制策略,即用尽量小的成本去实现最大化的防治效果。用数学模型来研究疾病的爆发和传播已有着四个世纪的历史,其理论在不断发展的同时也出现了一些新的问题和挑战。这一研究领域所用到的相关数学理论在越来越广泛。通过其相关历史的研究,达到对该理论研究提供文献支持和理论指导。

 [1]姜启源，谢金星，叶 俊．数学模型（第四版）．北京：高等教育出版社，2011

[2]陈 鑫，徐赫屿．一类具有线性传染力的 SIRS 传染病动力系统的分析与控制［J］．沈阳师范大学学报:自然科学版，2012，30( 2) :28－30．

[3]廖晓昕．稳定性的数学理论及应用［M］．武汉:华中师范大学出版社，2001:140－161．
[4]张必胜，关于SIR和SIRS传染病数学模型的历史研究。